看borel集的定义，一个拓扑空间的开集全体所生成的sigma代数就是borel集。
拓扑结构是用来刻画映射的连续性的，而sigma代数式测度结构的基础。borel集就这样建立拓扑结构和测度结构的联系，可以看出这个定义是十分自然的。
自然和谐的定义往往来带无法估量的价值，可能也是数学美得体现。马上我们就有了一个我们需要的重要的结论：连续函数都是可测的。同时令所有连续函数可测的最小的sigma代数就是borel集。从中可以看出borel集不大不小，刚刚好，再多一个元素少一个元素都不行。
可能还有个问题，为什么要提出sigma代数这种结构。我觉得本质上是为了在做测度相关的操作时，涉及的所有运算都是有定义的。这些运算涉及集合的操作就是交、并、差，还有为了极限运算成立还需要可列交，sigma代数也就是满足这样性质的集合族。
总结如下：
所谓测度，就是一个具有可列可加性的非负集函数。当然这不是测度的唯一定义，外测度也是一种方法，不过殊途同归。
既然讨论的是函数，而且它的值域是0到正无穷，那么需要关心的就是它的定义域。如果承认选择公理(不可数的)，那么每个(非平凡的)正测度都存在不可测集，所以它的定义域必然不是全空间的所有子集。
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