关于初一奥数希望杯
第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛
初一第2试
2006年4月16日上午8：30至10：30得分_________
一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．
1．a和b是满足ab≠0的有理数，现有四个命题：
①的相反数是；
②a-b的相反数是a的相反数与b的相反数的差；
③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积；
④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积．
其中真命题有()
(A)1个．(B)2个．(C)3个．(D)4个．
[答案]C
[分析]③中ab的相反数是-ab，而a的相反数是-a，b的相反数是-a，它们乘积的相反数是ab。
[考点]本题考察的是相反数定义与倒数定义的灵活运用。
2．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是()
[答案]C
[分析]将题目中的展开图形还原，只有答案B不能还原成正方体。
[考点]本题考察的正方体展开图形的特点。
3．在代数式中，x与y的值各减少25％，则该代数式的值减少了()
(A)50％．(B)75％(C)(D)．
[答案]C
[分析]设减少后所求的代数式为m，则有m==。
[考点]本题考察的是整式乘法的运算及灵活运用。
4．若a<b<0<c<d，则以下四个结论中，正确的是()
(A)a+b+c+d一定是正数．(B)d+c-a-b可能是负数．
(C)d-c-b-a一定是正数．(D)c-d-b-a一定是正数．
[答案]C
[分析]本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b=-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0非正数；对于B，d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b一定大于零；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1。
[考点]有理数的运算。
5．在图1中，DA=DB=DC，则x的值是()
(A)10．(B)20．(C)30．(D)40．
[答案]A
[分析]根据三角形内角和为，求得x=
[考点]考察三角形角的计算。
6．已知a，b，c都是整数，m=|a+b|+|b-c|+|a-c|，那么()
(A)m一定是奇数．(B)m一定是偶数．
(C)仅当a，b，c同奇或同偶时，m是偶数．(D)m的奇偶性不能确定．
[答案]B
[分析]利用特殊值法，设出具体数，代入代数式即可排出A、C、D选项。
[考点]有理数的运算。
7．三角形三边的长a，b，c都是整数，且[a，b，c]=60，(a，b)=4，(b，c)=3．(注：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，(a，b)表示a，b的最大公约数)，则a+b+c的最小值是()
(A)30．(B)31．(C)32．(D)33．
[答案]B
[分析]由最小公倍数入手，由题意可知三个数中肯定有15和4，再根据最大公约数分别是4和3，以及其他已知条件，进一步推知
[考点]最大公约与最小公倍及三角形边的问题。
8．如图2，矩形ABCD由3×4个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有()
(A)40个．(B)38个．(C)36个．(D)34个．
[答案]A
[分析]本题可以从两方面考虑，一是从正面考虑，分别数出一格、两格、三格为边的矩形数的个数，再求和即可；二是从反面考虑，先求出正方形和矩形数总数，再求出正方形数，总数-正方形数=矩形数。
[考点]考查对图形的认识。
9．设a是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]=1，[-1]=-1，[0]=0，[-1.2]
=-2，则在以下四个结论中，正确的是()
[答案]D。
[分析]利用特殊值法，设a=0，则；设a=-1.2，则有
[考点]有理数的灵活运用。
10．Onthenumberaxis，therearetwopointsAandBcorrespondingtonumbers7andbrespectively，andthedistancebetweenAandBislessthan10．Letm=5-2b。thentherangeofthevalueofmis()
(英汉词典：numberaxis数轴；point点；correspondingto对应于…；respectively分别地；distance距离；1essthan小于；value值、数值；range范围)
[答案]C
[分析]先根据题意列出不等式组，由此解出b的范围为，再根据m=5-2b，得出m与b的关系：，即，解不等式得出m的取值范围。
[考点]一元一次不等式、不定式组解法的灵活运用。
二、填空题(每小题4分，共40分．)
[答案]
[分析]将原是化成===
[考点]本题考察分式的简便算法。
[答案]-3
[分析]由已知可得，原式==，再进一步变形。
[考点]本题考查了整式的运算。
13．图3是一个小区的街道图，A、B、C、…、X、Y、Z是道路交叉的17个路口，站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设______个岗哨．
[答案]4
[分析]找到符合题干条件的点，而且是符合要求的最少的。
[考点]本题考察对图形的识别与理解。
[答案]-36
[分析]由题意可知，，原式===-36
[考点]本题考察了立方差公式的灵活运用。
=_________.
[答案]4026042
[分析]分别对原式的分子和分母进行运算，分子为2007，分母为，即原式为2006。
[考点]考察了分式运算中的简便运算思想。
16．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有______个．
[答案]31
[分析]解决本题的关键是分别表示出给每名优胜者的乒乓球数量，并找到一般规律。
[详解]解：设乒乓球共有x个，由题意得给第一名的球数量为：；第二名：；第三名：
以此类推，第五名：.，所以有：，解得31。
17．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是_____岁．
[答案]18
[分析]设出四个人的年龄，根据题意，分别表示出三个人的平均年龄与另外一个人年龄的和。
[详解]设四个人的年龄分别是，根据题意有，再将四个算式两两作差得：，，，。
所以最大年龄与最小年龄的差是18。
18．初一(2)班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人，则全班同学共有______人．
[答案]53或25
[分析]本题是发散性题目，应该分两种情况考虑。
[详解]解：设全班一共有x个人，根据题意可知由两种情况：一、从右向左报数时，报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在的位置，则有：；二、从右向左报数时，报20的同学超过第一遍报数为20的同学所在的位置，则有。
的末位数字是___________．
[答案]0
[分析]将原式变形，充分运用特值法。
[详解]原式=，令，原式=，因为2的乘方末位分别是2、4、8、6四个数的循环，所以的末位数是8，所以原式的末位是0。
20．Assumethata，b，c，dareallintegers，andfourequations(a-2b)x=1，(b-3c)y=1，
(c-4d)z=1，w+100=dhavealwayssolutionsx，y，z，wofpositivenumbersrespectively,thentheminimumofais_____________．
(英汉词典：toassume假设；integer整数；equation方程；solution(方程的)解；positive正的；respectively分别地；minimum最小值)
[答案]2433
[考点]本题考察了不定方程的讨论思想。
三、解答题(本大题共3小题，共40分．)要求：写出推算过程．
21．(本小题满分10分)
(1)证明：奇数的平方被8除余1．
(2)请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．
（1）[分析]设出奇数的一般式.
证明：设任意的奇数为，则根据题意可得==，
连续两个整数相乘肯定是偶数，因此4k(k+1)能被8整除，
所以得证。
(2)假设2006可以表示为10个奇数的平方之和，也就是
(其中,,,…,都是奇数)．
等式左边被8除余2，而2006被8除余6．矛盾!
因此，2006不能表示为10个奇数的平方之和.
22．(本小题满分15分)
如图4所示，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点．连结AO，并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F．求四边形BDOF的面积．
设
因为E是AC的中点，0是BE的中点，
所以
则
由得
即
又
由得
即所以
23．(本小题满分15分)
老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为25千米／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．
[分析]解本题的关键是，分析出老师带一名学生走到一定的位置后返回去接另一名学生。并理清各时间段所走的路程。
[详解]解：设老师带一名学生走了x米后，放下这名学生返回接另一名学生，则根据提意有全程分了三个时间段，老师带第一个学生走的时间，老师返回接第二个学生的时间，老师带第二个学生到达博物馆的时间，，，，
解得=24，所以老师带着一个学生走出24米的时候，再回去带另一个学生，可以保证三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时。
初一数学希望杯获奖要多少分
第一试每个学校都有每个学校的选拔标准，比如我的学校40分就能获得三等奖，50分二等奖，60分（包括60）以上就是一等奖了。
第二试需要考上80分才有可能获奖。
好好考吧，过几天就要考试了，加油！
初一数学希望杯考什么内容
【#初中奥数#导语】希望杯不同于小学奥数，小学奥数是超纲超前的，而希望杯只是在课内教学的基础上，更加注重解题技巧和综合应用。那么，初一数学希望杯考什么内容？下面是分享的相关信息。欢迎阅读参考！
1.初一数学希望杯考什么内容？
【初一年级希望杯考点一览表】
1.有理数的加、减、乘、除、乘方，以及数轴、绝对值和有效数字；
2.一元一次方程、二元一次方程的整数解问题；
3.直线、射线、线段；余角、补角、对顶角以及角的计算；相交线、平行线；
4.三角形的边（角）关系、三角形的内角和；
5.整式的加减、代数式求值、探索规律；
6.统计表、条形统计图和扇形统计图；抽样调查、数据的收集与整理；
7.图形的展开与折叠；
8.可能还是确定、可能性、概率的基本概念、简单逻辑推理；
9.整式的运算（主要是整式的加减乘运算，乘法公式的正用逆用）；
10.数论初步、应用问题；
11.三视图、平面直角坐标系、坐标方法的简单应用。
通过上表可以看出，希望杯所考查的知识点都是我们课内所学的东西，完全没有脱离教材。其实希望杯是一个比较大众化的杯赛，基本上所有的学生都可以参加，只是在难度上会大一些。
2.参加希望杯有什么意义？
大家可能会想，参加希望杯如果不能获奖，那还有意义吗？其实，希望杯的奖项在升学上并没有作用。参加希望杯主要是为了锻炼孩子的思维能力，拓展孩子知识的深度和广度，为以后的升学打下坚实的基础。对于参加希望杯的积极作用，下面从三个方面阐述一下。
一、顺利完成初升高的衔接
深圳的中考难度不大，而高考的难度却比较大。这就导致初升高的衔接上会出现问题。众所周知，九年义务教育的基调是减负，目前采取的方式比较粗暴，只要某块知识能出难题，教材中就可能会直接把这块知识给删掉，比如韦达定理。学理科的知道，韦达定理一旦删掉，整个一元二次方程，二次函数以及初升高的衔接会出现非常大的问题。但北师版教材2010年就硬生生给删掉了。官方解释非常简单，因为这里可以出难题。那如何弥补呢？
其实参加希望杯的过程就是在课内基础上进行拓展和加深的过程，在杯赛中我们会提前接触高中数学的思想，更顺利地完成初升高的衔接，为高中打下良好的基础。
二、为推荐生考试作准备
推荐生考试作为秀学生的选拔考试，难度远远大于中考，但目前校内学习的内容较少而且比较简单，因此想参加推荐生考试，参加希望杯这样的杯赛是非常有必要的。
三、为高考和自主招生考试打基础
高中联赛获奖对于学生在高考和自主招生录取方面的优势很明显。但联赛获奖一定是以初中的竞赛背景为前提的，要想竞赛获奖并在高考和自主招生中加分，那在初中阶段就必须抓住每次竞赛的机会，通过竞赛不断提升自己的数学思维能力，提前为升学做准备。那回到题目，希望杯是非报不可的！
3.在初中，竞赛是怎样的定位
1、初中竞赛与小学的不同
①相对小学竞赛而言，初中竞赛和教材结合更紧密。小学竞赛内容模块化，基本和教材的内容独立，而初中结合的更为紧密。从初中奥赛大纲可以看出。初中竞赛主要是普及化，大众化，不超纲，不超前。在普及基础的前提下不断提高，低起点，高落点，贯彻少而精的原则。
②初中竞赛的内容更加规范。小学竞赛对思维的要求要高于对解题的步骤要求。而初中竞赛代数部分占了50%以上，几何占了30%以上，相对小学来说过程的表达要求更为严谨和规范。
③初中竞赛针对对象范围缩小。小学奥数，我们推荐大部分孩子接触奥数，50%以上的孩子学习奥数；但是到初中后，由于最重要的考试是中考，本着为孩子们负责的态度，我只推荐在基础知识没问题的情况下，5%左右的孩子可以接受奥数训练。
2、初中竞赛的意义
①加深对知识点的理解，锻炼深度思维。
由于与课本知识点联系紧密，因此学习奥数对孩子们在课堂的学习有很大意义；同时，竞赛知识对中考压轴题等难题的解答也有不可忽视的作用。奥数学习是对学生逻辑思维能力的培养，而这是理科学习的基础，数学好的学生在升入初高中后，数理化成绩都非常好，语文和英语的提升也较快，这也是重点中学愿意通过奥数选拔优秀学生的原因。
②竞赛的额外奖励：荣誉
竞赛的最重要的目的还是孩子们对数学这门学科的理解，在学习中的乐趣；其次，在学习奥数和各种考试的过程中，会有很多奖励、荣誉和额外的收获，包括志同道合的朋友、解答疑问的快乐，探究未知的乐趣等等，这些收获会帮助我们建立独特的自信和存在感，并在今后漫长的学习旅途中提供的动力和食粮。
4.数学希望杯发展历程
希望杯数学邀请赛这一邀请赛自1990年以来，已经连续举行了十多届。10多年来，主办单位始终坚持比赛面向多数学校、多数学生，从命题、评奖到组织工作的每个环节，都围绕着一个宗旨：激发广大中学生学习的兴趣，培养他们的自信，不断提高他们的能力和素质。这一活动只涉及初一、初二、高一、高二四个年级，不涉及初三、高三，不与奥赛重复，不与中考、高考挂钩，不增加师生负担，因此受到广大师生的欢迎。
该竞赛一直受到原国家教委的肯定，并被列入原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关心和支持。到第xx届为止，参赛城市已超过500个，参赛学生累计598万。“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学生中规模最大、影响最广的学科课外活动之一。
